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Python 经典贪心算法之Prim算法案例详解

最小生成树的Prim算法也是贪心算法的一大经典应用。Prim算法的特点是时刻维护一棵树，算法不断加边，加的过程始终是一棵树。

Prim算法过程：
一条边一条边地加，维护一棵树。

初始 E ＝｛｝空集合， V = ｛任选的一个起始节点｝
循环（n – 1）次，每次选择一条边（v1,v2），满足：v1属于V , v2不属于V。且（v1,v2）权值最小。
E = E + （v1,v2）
V = V + v2

最终E中的边是一棵最小生成树， V包含了全部节点。

以下图为例介绍Prim算法的执行过程。

Prim算法的过程从A开始 V = {A}, E = {}

选中边AF , V = {A, F}, E = {(A,F)}

选中边FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}

选中边BD, V = {A, B, F, D}, E = {(A,F), (F,B), (B,D)}

选中边DE, V = {A, B, F, D, E}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}

选中边BC, V = {A, B, F, D, E, c}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法结束。

Prim算法的证明：假设Prim算法得到一棵树P，有一棵最小生成树T。假设P和T不同，我们假设Prim算法进行到第(K – 1)步时选择的边都在T中，这时Prim算法的树是P', 第K步时,Prim算法选择了一条边e = (u, v)不在T中。假设u在P'中，而v不在。

因为T是树，所以T中必然有一条u到v的路径，我们考虑这条路径上第一个点u在P'中，最后一个点v不在P'中，则路径上一定有一条边f = (x,y)，x在P'中，而且y不在P'中。
我们考虑f和e的边权w(f)与w(e)的关系：若w(f) > w(e)，在T中用e换掉f （T中加上e去掉f)，得到一个权值和更小的生成树，与T是最小生成树矛盾。
若w(f) w(e), Prim算法在第K步时应该考虑加边f，而不是e,矛盾。

因此只有w(f) = w(e),我们在T中用e换掉f，这样Prim算法在前K步选择的边在T中了，有限步之后把T变成P,而树权值和不变，从而Prim算法是正确的。
请仔细理解Prim算法——时刻维护一棵生成树。我们的证明构造性地证明了所有地最小生成树地边权（多重）集合都相同！

N个点M条边的无向连通图，每条边有一个权值，求该图的最小生成树。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

输入

第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 = N = 1000, 1 = M = 50000)
第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 = S, E = N，1 = W = 10000)

输出

输出最小生成树的所有边的权值之和。

输入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8

输出示例

maxv=10001
n,m=list(map(int,input().split()))
E=[]
V=set([1])
cost=[]
for i in range(n+1):
    a=[]
    for j in range(n+1):
        a.append(maxv)
    cost.append(a)
for i in range(m):
    s,e,w=list(map(int,input().split()))
    cost[s][e]=w
    cost[e][s]=w
closet=[0]
lowcost=[maxv]
for i in range(1,n+1):
    closet.append(1)
    lowcost.append(cost[1][i])
ans=0
for i in range(n-1):
    k=0
    for j in range(2,n+1):
        if (lowcost[j]!=0) and (lowcost[j]lowcost[k]):k=j

    for j in range(2,n+1):
        if cost[j][k]lowcost[j]:
            lowcost[j]=cost[j][k]
            closet[j]=k
    ans+=lowcost[k]
    lowcost[k]=0
print(ans)

到此这篇关于Python 经典贪心算法之Prim算法案例详解的文章就介绍到这了,更多相关Python 经典贪心算法之Prim内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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