python机器学习高数篇之泰勒公式

不少同学一提到泰勒公式，脑海里立马浮现高大上的定义和长长的公式，令人望而生畏。

实际上，泰勒公式没有那么可怕，它是用简单的多项式来逼近一个光滑的函数，从而近似替代不熟悉的函数。由于泰勒公式具有将复杂函数近似成多个幂函数叠加形式的性质，可以用它进行比较、求极限、求导、解微分方程等。

我们先来看一下泰勒公式的发明者，布鲁克·泰勒——

布鲁克·泰勒（Brook Taylor,1685-1732）,英国数学家，牛顿学派最优秀的代表人物之一，他于1712年的一封信里首次叙述了泰勒公式。

再来看一下高数书上对泰勒公式的定义：

公式3-5就称为f(x)在x0处的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

初看这个泰勒公式的定义，就觉得恢宏大气，气势磅礴。不过光从泰勒公式的定义，很难直观看出它是怎么用多项式逼近原函数的。接下来我们用图像和图表来感受一下——

这里我们先列举出f(x) = cosx在原点的泰勒2阶、4阶、6阶、8阶、10阶的多项式，并用图像表示该函数及其泰勒n阶多项式。

对应图像如下，其中黑色线条为原函数f(x)，彩色线条为多项式g(x)。可以看到随着阶数的增大，多项式在更大范围内越来越逼近原函数。

我们再用python实现函数y=cosx的泰勒n阶多项式，并与y=cosx的实际值进行比较，其中令n=40。

def f_cos(x):
    m = 20+1
    sum = 1.0
    for i in range(1,m): #range函数取值是左闭右开
        n = 2 * i 
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i+1):
            tmp1 = -tmp1             
        for j in range(1,n+1):                    
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
    print("cos(x) = " + str(cos(x)))

比较自定义的f_cos(x)和numpy库的cosx的误差：