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Python机器学习之PCA降维算法详解

一、算法概述

主成分分析（Principal ComponentAnalysis，PCA）是一种掌握事物主要矛盾的统计分析方法，它可以从多元事物中解析出主要影响因素，揭示事物的本质，简化复杂的问题。
PCA 是最常用的一种降维方法，它的目标是通过某种线性投影，将高维的数据映射到低维的空间中，并期望在所投影的维度上数据的方差最大，以此使用较少的维度，同时保留较多原数据的维度。
PCA 算法目标是求出样本数据协方差矩阵的特征值和特征向量，而协方差矩阵的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。使样本数据向低维投影后，能尽可能表征原始的数据。
PCA 可以把具有相关性的高维变量合成为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能的保留原始数据的信息。
PCA 通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。

二、算法步骤

1.将原始数据按行组成m行n列的矩阵X

2.将X的每一列（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一列的均值

3.求出协方差矩阵

4.求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量r

5.将特征向量按对应特征值大小从左到右按列排列成矩阵，取前k列组成矩阵P

6.计算降维到k维的数据

三、相关概念

方差：描述一个数据的离散程度

协方差：描述两个数据的相关性，接近1就是正相关，接近-1就是负相关，接近0就是不相关

协方差矩阵：协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度的方差

特征值：用于选取降维的K个特征值
特征向量：用于选取降维的K个特征向量

四、算法优缺点

优点

仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

缺点

主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，降维丢弃的数据可能对后续数据处理有影响。

五、算法实现

自定义实现

import numpy as np


# 对初始数据进行零均值化处理
def zeroMean(dataMat):
    # 求列均值
    meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
    # 求列差值
    newData = dataMat - meanVal
    return newData, meanVal


# 对初始数据进行降维处理
def pca(dataMat, percent=0.19):
    newData, meanVal = zeroMean(dataMat)

    # 求协方差矩阵
    covMat = np.cov(newData, rowvar=0)

    # 求特征值和特征向量
    eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))

    # 抽取前n个特征向量
    n = percentage2n(eigVals, percent)
    print("数据降低到：" + str(n) + '维')

    # 将特征值按从小到大排序
    eigValIndice = np.argsort(eigVals)
    # 取最大的n个特征值的下标
    n_eigValIndice = eigValIndice[-1:-(n + 1):-1]
    # 取最大的n个特征值的特征向量
    n_eigVect = eigVects[:, n_eigValIndice]

    # 取得降低到n维的数据
    lowDataMat = newData * n_eigVect
    reconMat = (lowDataMat * n_eigVect.T) + meanVal

    return reconMat, lowDataMat, n


# 通过方差百分比确定抽取的特征向量的个数
def percentage2n(eigVals, percentage):
    # 按降序排序
    sortArray = np.sort(eigVals)[-1::-1]
    # 求和
    arraySum = sum(sortArray)

    tempSum = 0
    num = 0
    for i in sortArray:
        tempSum += i
        num += 1
        if tempSum >= arraySum * percentage:
            return num


if __name__ == '__main__':
    # 初始化原始数据(行代表样本,列代表维度)
    data = np.random.randint(1, 20, size=(6, 8))
    print(data)

    # 对数据降维处理
    fin = pca(data, 0.9)
    mat = fin[1]
    print(mat)

利用Sklearn库实现

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris

# 加载数据
data = load_iris()
x = data.data
y = data.target

# 设置数据集要降低的维度
pca = PCA(n_components=2)
# 进行数据降维
reduced_x = pca.fit_transform(x)

red_x, red_y = [], []
green_x, green_y = [], []
blue_x, blue_y = [], []

# 对数据集进行分类
for i in range(len(reduced_x)):
    if y[i] == 0:
        red_x.append(reduced_x[i][0])
        red_y.append(reduced_x[i][1])
    elif y[i] == 1:
        green_x.append(reduced_x[i][0])
        green_y.append(reduced_x[i][1])
    else:
        blue_x.append(reduced_x[i][0])
        blue_y.append(reduced_x[i][1])

plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='D')
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='.')
plt.show()