我们在用神经网络求解PDE时， 经常要用到输出值对输入变量（不是Weights和Biases）求导； 在训练WGAN-GP 时， 也会用到网络对输入变量的求导。
以上两种需求， 均可以用pytorch 中的autograd.grad() 函数实现。
autograd.grad(outputs, inputs, grad_outputs=None, retain_graph=None, create_graph=False, only_inputs=True, allow_unused=False)
outputs: 求导的因变量（需要求导的函数）
inputs: 求导的自变量
grad_outputs: 如果 outputs为标量，则grad_outputs=None,也就是说，可以不用写; 如果outputs 是向量，则此参数必须写，不写将会报如下错误：
那么此参数究竟代表着什么呢？
先假设
为一维向量, 即可设自变量因变量分别为 
， 其对应的 Jacobi 矩阵为
grad_outputs 是一个shape 与 outputs 一致的向量, 即
在给定grad_outputs 之后，真正返回的梯度为
为方便下文叙述我们引入记号 
其次假设 
,第i个列向量对应的Jacobi矩阵为
此时的grad_outputs 为(维度与outputs一致)
由第一种情况， 我们有
也就是说对输出变量的列向量求导，再经过权重累加。
若
沿用第一种情况记号
, 其中每一个
均由第一种方法得出，
即对输入变量列向量求导，之后按照原先顺序排列即可。
retain_graph: True 则保留计算图， False则释放计算图
create_graph: 若要计算高阶导数，则必须选为True
allow_unused: 允许输入变量不进入计算
下面我们看一下具体的例子：
import torch
from torch import autograd
x = torch.rand(3, 4)
x.requires_grad_()
观察 x 为
不妨设 y 是 x 所有元素的和， 因为 y是标量，故计算导数不需要设置grad_outputs
y = torch.sum(x)
grads = autograd.grad(outputs=y, inputs=x)[0]
print(grads)
结果为
若y是向量
y = x[:,0] +x[:,1]
# 设置输出权重为1
grad = autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(y))[0]
print(grad)
# 设置输出权重为0
grad = autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.zeros_like(y))[0]
print(grad)
结果为
最后， 我们通过设置 create_graph=True 来计算二阶导数
y = x ** 2
grad = autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(y), create_graph=True)[0]
grad2 = autograd.grad(outputs=grad, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(grad))[0]
print(grad2)
结果为
综上，我们便搞清楚了它的求导机制。
补充：pytorch学习笔记：自动微分机制(backward、torch.autograd.grad)
一、前言
神经网络通常依赖反向传播求梯度来更新网络参数，求梯度过程通常是一件非常复杂而容易出错的事情。
而深度学习框架可以帮助我们自动地完成这种求梯度运算。
Pytorch一般通过反向传播 backward方法 实现这种求梯度计算。该方法求得的梯度将存在对应自变量张量的grad属性下。
除此之外，也能够调用torch.autograd.grad函数来实现求梯度计算。
这就是Pytorch的自动微分机制。
二、利用backward方法求导数
backward方法通常在一个标量张量上调用，该方法求得的梯度将存在对应自变量张量的grad属性下。如果调用的张量非标量，则要传入一个和它同形状的gradient参数张量。相当于用该gradient参数张量与调用张量作向量点乘，得到的标量结果再反向传播。
1, 标量的反向传播
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c的导数
x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
y.backward()
dy_dx = x.grad
print(dy_dx)
输出：
tensor(-2.)
2, 非标量的反向传播
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c
x = torch.tensor([[0.0,0.0],[1.0,2.0]],requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
gradient = torch.tensor([[1.0,1.0],[1.0,1.0]])
print("x:\n",x)
print("y:\n",y)
y.backward(gradient = gradient)
x_grad = x.grad
print("x_grad:\n",x_grad)
输出：
x:
tensor([[0., 0.],
[1., 2.]], requires_grad=True)
y:
tensor([[1., 1.],
[0., 1.]], grad_fn=AddBackward0>)
x_grad:
tensor([[-2., -2.],
[ 0., 2.]])
3, 非标量的反向传播可以用标量的反向传播实现
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c
x = torch.tensor([[0.0,0.0],[1.0,2.0]],requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
gradient = torch.tensor([[1.0,1.0],[1.0,1.0]])
z = torch.sum(y*gradient)
print("x:",x)
print("y:",y)
z.backward()
x_grad = x.grad
print("x_grad:\n",x_grad)
输出：
x: tensor([[0., 0.],
[1., 2.]], requires_grad=True)
y: tensor([[1., 1.],
[0., 1.]], grad_fn=AddBackward0>)
x_grad:
tensor([[-2., -2.],
[ 0., 2.]])
三、利用autograd.grad方法求导数
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c的导数
x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
y = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
# create_graph 设置为 True 将允许创建更高阶的导数
dy_dx = torch.autograd.grad(y,x,create_graph=True)[0]
print(dy_dx.data)
# 求二阶导数
dy2_dx2 = torch.autograd.grad(dy_dx,x)[0]
print(dy2_dx2.data)
输出：
tensor(-2.)
tensor(2.)
import numpy as np
import torch
x1 = torch.tensor(1.0,requires_grad = True) # x需要被求导
x2 = torch.tensor(2.0,requires_grad = True)
y1 = x1*x2
y2 = x1+x2
# 允许同时对多个自变量求导数
(dy1_dx1,dy1_dx2) = torch.autograd.grad(outputs=y1,
inputs = [x1,x2],retain_graph = True)
print(dy1_dx1,dy1_dx2)
# 如果有多个因变量，相当于把多个因变量的梯度结果求和
(dy12_dx1,dy12_dx2) = torch.autograd.grad(outputs=[y1,y2],
inputs = [x1,x2])
print(dy12_dx1,dy12_dx2)
输出：
tensor(2.) tensor(1.)
tensor(3.) tensor(2.)
四、利用自动微分和优化器求最小值
import numpy as np
import torch
# f(x) = a*x**2 + b*x + c的最小值
x = torch.tensor(0.0,requires_grad = True) # x需要被求导
a = torch.tensor(1.0)
b = torch.tensor(-2.0)
c = torch.tensor(1.0)
optimizer = torch.optim.SGD(params=[x],lr = 0.01)
def f(x):
result = a*torch.pow(x,2) + b*x + c
return(result)
for i in range(500):
optimizer.zero_grad()
y = f(x)
y.backward()
optimizer.step()
print("y=",f(x).data,";","x=",x.data)
输出：
y= tensor(0.) ; x= tensor(1.0000)
以上为个人经验，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持脚本之家。如有错误或未考虑完全的地方，望不吝赐教。
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